Die Matrixmultiplikation ist eine binäre Operation, die zwei Matrizen kombiniert, um eine neue Matrix zu erzeugen. Im Gegensatz zur elementweisen Addition und Subtraktion ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ und erfordert, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
Grundlagen
Um zwei Matrizen A und B zu multiplizieren, wobei A eine m x n Matrix und B eine n x p Matrix ist, ist das Ergebnis eine m x p Matrix C. Jedes Element c<sub>ij</sub> von C wird berechnet, indem die Elemente der i-ten Zeile von A mit den Elementen der j-ten Spalte von B multipliziert und die Ergebnisse addiert werden.
Bedingung für Multiplikation
Eine wichtige Voraussetzung für die Multiplikation ist die Kompatibilität%20der%20Dimensionen: Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Wenn A eine m x n Matrix ist und B eine k x l Matrix ist, dann ist das Produkt AB nur definiert, wenn n = k ist. Das Ergebnis ist dann eine m x l Matrix.
Berechnung
Seien A = (a<sub>ij</sub>) eine m x n Matrix und B = (b<sub>ij</sub>) eine n x p Matrix. Dann ist die Matrix C = A * B eine m x p Matrix, wobei jedes Element c<sub>ij</sub> wie folgt berechnet wird:
c<sub>ij</sub> = Σ<sub>k=1</sub><sup>n</sup> a<sub>ik</sub> * b<sub>kj</sub>
Eigenschaften
Anwendungen
Die Matrixmultiplikation findet Anwendung in vielen Bereichen wie:
Beispiel
Seien:
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[5, 6], [7, 8]]
Dann ist:
A * B = [[(1*5 + 2*7), (1*6 + 2*8)], [(3*5 + 4*7), (3*6 + 4*8)]] = [[19, 22], [43, 50]]
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