Was ist matrix multiplikation?

Matrixmultiplikation

Die Matrixmultiplikation ist eine binäre Operation, die zwei Matrizen kombiniert, um eine neue Matrix zu erzeugen. Im Gegensatz zur elementweisen Addition und Subtraktion ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ und erfordert, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.

Grundlagen

Um zwei Matrizen A und B zu multiplizieren, wobei A eine m x n Matrix und B eine n x p Matrix ist, ist das Ergebnis eine m x p Matrix C. Jedes Element c<sub>ij</sub> von C wird berechnet, indem die Elemente der i-ten Zeile von A mit den Elementen der j-ten Spalte von B multipliziert und die Ergebnisse addiert werden.

Bedingung für Multiplikation

Eine wichtige Voraussetzung für die Multiplikation ist die Kompatibilität%20der%20Dimensionen: Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Wenn A eine m x n Matrix ist und B eine k x l Matrix ist, dann ist das Produkt AB nur definiert, wenn n = k ist. Das Ergebnis ist dann eine m x l Matrix.

Berechnung

Seien A = (a<sub>ij</sub>) eine m x n Matrix und B = (b<sub>ij</sub>) eine n x p Matrix. Dann ist die Matrix C = A * B eine m x p Matrix, wobei jedes Element c<sub>ij</sub> wie folgt berechnet wird:

c<sub>ij</sub> = Σ<sub>k=1</sub><sup>n</sup> a<sub>ik</sub> * b<sub>kj</sub>

Eigenschaften

  • Nicht-Kommutativität: Im Allgemeinen ist A * B ≠ B * A. Die Reihenfolge der Matrizen ist entscheidend. Nicht-Kommutativität ist eine der wichtigsten Eigenschaften der Matrixmultiplikation.
  • Assoziativität: A * (B * C) = (A * B) * C
  • Distributivität: A * (B + C) = A * B + A * C und (A + B) * C = A * C + B * C
  • Multiplikation mit der Einheitsmatrix: A * I = A und I * A = A, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Anwendungen

Die Matrixmultiplikation findet Anwendung in vielen Bereichen wie:

  • Lineare Algebra
  • Computergrafik (Transformationen)
  • Maschinelles Lernen
  • Physik

Beispiel

Seien:

A = [[1, 2], [3, 4]]

B = [[5, 6], [7, 8]]

Dann ist:

A * B = [[(1*5 + 2*7), (1*6 + 2*8)], [(3*5 + 4*7), (3*6 + 4*8)]] = [[19, 22], [43, 50]]